五年级奥数解析(二十九)包含与排除(上)
《奥赛天天练》第二十一讲《包含与排除》。包含与排除问题也叫重叠问题,从三年级奥数课堂开始由浅入深逐步学习,此类问题说明及容斥原理具体内容,请查阅:
三年级奥数解析(三十九)重叠问题与容斥原理
四年级奥数解析(二十九)容斥原理
这一讲将在三、四年级学习的基础上,进一步学习运用容斥原理二解答稍复杂的包含与排除问题。
【容斥原理二】
如果被计数的事物有A、B、C三类,则:
三类元素总个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类又是C类的元素个数。
【原理证明】
如下图,三个圆片两两重叠,用红色圆片面积表示A类事物元素个数、黄色圆片面积表示B类事物元素个数、蓝色圆片面积表示C类事物元素个数,三个圆片覆盖的总面积就表示三类元素的总个数:
A、B、C三个圆片共同重叠的正中间的一块,覆盖了三层圆片,重叠了2次;剩下的重叠部分都覆盖了两层圆片,重叠了1次。三个圆片覆盖的总面积就等于三个圆片的面积之和减去重叠部分的面积,重叠1次的减去重叠面积,重叠2次的减去重叠面积的2倍。
但用三个圆片的总面积依次减去AB的重叠部分、AC的重叠部分和BC的重叠部分,重叠1次的面积正好减去了,可三个圆片共同重叠的部分既属于AB的重叠部分,也属于AC的重叠部分,同时属于BC的重叠部分。这一块儿面积重叠2次,却减去了3次,多减了1次,要补上去。所以:
三类元素总个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类又是C类的元素个数。
《奥赛天天练》第21讲,模仿训练,练习1
【题目】:
在参加数学竞赛的46人中,做对第二题的有32人,做对第4题的有24人,两道题都做对的有20人,两道题都没有做对的有几人?
【解析】:
如下图:
用做对第2题与做对第4题的人数和,减去两题都做对的人数(重叠部分),求出的就是这两题中至少做对了一题的人数:
32+24-20=36(人)。
所以这两道题都没有做对的人数为:
46-36=10(人)。
《奥赛天天练》第21讲,模仿训练,练习2
【题目】:
某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生,参加语文竞赛的有120名女生、80名男生,该校总共有260名学生参加竞赛,其中75名男生两科都参加了,那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人?
【解析】:
先求出既参加了语文竞赛又参加了数学竞赛的男女生总人数:
(120+80)×2-260=140(人)。
所以既参加了语文竞赛又参加了数学竞赛的女生人数为:
140-75=65(人)。
即参加数学竞赛的女生中有65人同时参加了语文竞赛,则只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有:
80-65=15(人)。