四年级奥数解析（六）等差数列（下）

《奥赛天天练》第5讲，模仿训练，练习2

【题目】：

一辆双层公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上三位乘客，依此类推，那么第几站以后车上坐满乘客？

【解析】：

每个站点上车乘客人数是个首项为1，公差为1的等差数列，坐满乘客即此前所有站点共上78位乘客，也就是这个数列的数列和。

解法一：列举法。

从1开始依次加2、3、4、5、……，求和，直到和为78，可得：1+2+3+……+12=78。所以到第12站以后车上坐满乘客。

解法二：利用求和公式推导。

由求和公式可得，（首项+末项）×项数=78×2=156，而由题意可知首项为1，末项等于项数，即首末两项和就等于项数加1。

再对156进行因数分解可得：156=12×13。

所以这个数列的项数为12，即第12站以后车上坐满乘客。

四年级孩子对因数分解还不太熟，可以考虑第一种解法。 

《奥赛天天练》第5讲，巩固训练，习题2

【题目】：

（1）2000-3-6-9-…-51-54；

（2）（2+4+6+…+96+98+100）-（1+3+5+…+95+97+99）。

【解析】：

（1）3、6、9、…、51、54，是个公差为3的等差数列，项数为：（54-3）÷3+1=18。

根据减法的运算性质：

2000-3-6-9-…-51-54

=2000-（3+6+9+…+51+54）

=2000-（3+54）×18÷2

=2000-513

=1487

（2）解法一：先分别求和，再求两个和的差。（略）

解法二：对应相减。

（2+4+6+…+96+98+100）-（1+3+5+…+95+97+99）

=（2-1）+（4-3）+（6-5）+…+（96-95）+（98-97）+（100-99）

=1+1+1+…+1+1+1（50个1相加）

=50

《奥赛天天练》第5讲，拓展提高，习题1

【题目】：

一本书的页码从1～62，共有62页。小丽在把这本书所有页码数累加起来的时候，发现这本书有一张纸被撕掉了，她把其他页码加起来的和是1858。问被撕掉的这张纸上的页码是多少？

【解析】：

书上任意一张纸都有两个相邻的页码，由题意得这本书少了两个相邻的页码，两个页码数应该是两个相邻的数字。

先求出1～62这62个页码数的和：（1+62）×62÷2=1953，

则撕掉的两个页码数的和为：1953-1858=95，

95=47+48，所以被撕掉的这张纸上的页码是47、48。

《奥赛天天练》第5讲，拓展提高，习题2

【题目】：

盒子里装着写有1，2，3，…，134，135的红色卡片各一张。从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上的各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色卡片上放回盒内。经过若干次这样的操作后，盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片。已知这两张红色卡片上写的数分别是19和97，求那张黄色卡片上所写的数。

【解析】：

去掉剩下的两张红色卡片，摸出的所有红色卡片上数字之和为：

1+2+3+……+134+135-19-97=（1+135）×135÷2-19-97=9064。

每次“从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上的各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色卡片上放回盒内。”即放回的黄色卡片上的数比每次摸出的数少了17的整数倍，所以，无论摸出多少次，盒中剩下来的数除以17的余数不变。而且黄色卡片上的数字是余数（比17小）。

9064÷17=533……3，所以最后那张黄色卡片上数字为3。