四年级奥数解析（五）等差数列（上）

《奥赛天天练》第4讲《等差数列》、第5讲《等差数列求和》，帮助孩子进一步认识等差数列，学会运用等差数列的几个公式解决简单的数学问题。

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。如果用an表示数列的第n项，用Sn表示数列前n项所有数的和，则有以下公式：

通项公式为：an=a1+(n-1)d；

前n项求和公式：Sn=n(a1+an)÷2；

项数公式：项数＝（末项-首项）÷公差＋1；

所有项总和＝（首项＋末项）×项数÷2 ；

首项=总和×2÷项数-末项；

末项=总和×2÷项数-首项。

公差=（末项-首项）÷（项数-1）

辅导时，可以以最简单的自然数列为例，介绍等差数列中一些名词的含义，并利用具体数据，通过不完全归纳法，帮助孩子理解通项公式、项数公式和求和公式的推导过程，一定要在理解的基础上学会运用，切忌死记硬背。

以数列“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”为例，帮助孩子理解求和公式的原理：

这是个等差数列，首项为1，末项为10，公差为1，共有10项。数列和为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10。

如果我们把这个数列重复一遍插入原数列中，就可以得到一个新的20项的数列：“1、10、2、9、3、8、4、7、5、6、6、5、7、4、8、3、9、2、10、1”，这个数列的总和为：（1+10）+（2+9）+（3+8）+（4+7）+（5+6）+（6+5）+（7+4）+（8+3）+(9+2)+(10+1)=(1+10)×10。

新数列的和是原数列的2倍，所以：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10÷2。

把这个数列换成其它等差数列可以得到相同的验证：

数列和＝（首项＋末项）×项数÷2 ；

《奥赛天天练》第4讲，巩固训练，习题2

【题目】：

一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高4厘米。它从离地面10厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫第一次落脚点，那么它的第100个落脚点正好是树梢，这棵树高多少厘米？

【解析】：

小虫子第一次落脚点的高度为10厘米，后面每一次的落脚点都比前一个落脚点高4厘米，所有落脚点的高度形成一个首项为10、公差为4的等差数列，第100个落脚点的高度就是这棵树高度为：

10+（100-1）×4=406（厘米）。

《奥赛天天练》第4讲，拓展提高，习题1

【题目】：

下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？

4+2，5+8，6+14，7+20，……

【解析】：

这一列算式中，每个算式的第一个数都比后一个算式的第一个数少1，每个算式的第二个数都比后一个算式的第二个数少6，所以，后面算式的和总比前一个算式的和多：1+6=7，所有算式的和组成了一个公差为7的等差数列。

首项即第一个算式的和为：4+2=6，则第100个算式的得数是：

6+（100-1）×7=699。

《奥赛天天练》第4讲，拓展提高，习题2

【题目】：

在124和245之间插入10个数以后，使它成为一个等差数列。这10个数中，最小的是几？最大的是几？

【解析】：

由题意可得这个等差数列首项为124，末项为245，项数为12。所以这个数列的公差为：（245-124）÷（12-1）=11

则插入的10个数中，最小的是：124+11=135；

插入的10个数中，最大的是：245-11=234。