四年级奥数解析（三十四）格点与面积

《奥赛天天练》第31讲《格点与面积》。

如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。

一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积；③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始，很少用。

任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积：

格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1

这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。

皮克定理的证明：

将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1

所以格点多边形面积为：图内格点个数+周界格点数÷2-1。

皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解。本讲只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应用，到初中还会进一步学习皮克定理。

《奥赛天天练》第31讲，模仿训练，练习1

【题目】：

求下面各图形的面积。

【解析】：

图①是个平行四边形，周界上有10个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图①的面积为：4+10÷2-1=8；

图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根据格点面积公式，图②的面积为：2+8÷2-1=5；

图③是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图③的面积为：4+6÷2-1=6；

以上3个图形都是规则图形，但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算，不能用面积公式计算。

图④是个六边形，周界上有8个格点，图内有9个格点，根据格点面积公式，图④的面积为：9+8÷2-1=12。

这四个图形也可以用数格子的方法计算面积。

《奥赛天天练》第31讲，模仿训练，练习2

【题目】：

下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？

【解析】：

这三个图形都适合用格点面积公式计算面积。

喇叭周界上有8个格点，图内没有格点，面积为：0+8÷2-1=3；

小猫周界上有20个格点，图内有2个格点，面积为：2+20÷2-1=11；

小狗图案可以看着是两个格点多边形组成，先分别求出每个格点多边形的面积，再求出总面积。

躯干面积：0+12÷2-1=5；

尾巴面积：0+4÷2-1=1；

总面积：5+1=6。

像小狗图案这样，由两个或两个以上独立的格点多边形拼成的多边形，要求其总面积，一般先求出每个独立多边形的面积，再求和，以免发生漏数多个独立图形公共格点的错误。

《奥赛天天练》第31讲，拓展提高，习题1

【题目】：

下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。

【解析】：

这个礼盒平面图是由3个独立的格点多边形组成的。

左边三角形面积可以用皮克公式求出：4+4÷2-1=5；

右边三角形面积可以用皮克公式求出：2+6÷2-1=4；

下面长方形长为6、宽为3，可以直接用长方形面积公式算出面积：6×3=18；

所以上图总面积为：5+4+18=27。

《奥赛天天练》第31讲，拓展提高，习题2

【题目】：

你知道下图中共有多少个图形吗？每个图形的面积各是多少？

【解析】：

这里所说的图形既包括凸多边形，也包括凹多边形。图中有8个三角形： AEC,AED,ADC,ABD,ABC,EBD,EBC,DBC；有3个四边形：ADBC,ABDC,ABCD。

可以用皮克公式算出每个图形的面积，例如四边形ADBC的面积为：

21+8÷2-1=24。

其它图形的面积：（略）。