四年级奥数解析（二十七）数阵图

《奥赛天天练》第24讲《数阵图》。

在三年级奥数解析中已经对数阵图作了介绍，并学习了辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数”。请查阅

本讲内容是三年级奥数内容的延伸，解法相似。

《奥赛天天练》第24讲，模仿训练，练习2

【题目】：

把1～10这10个数分别填在下图中的圆圈里，使每条边上三个数的和都等于14？

【解析】：

围成这个五边形的10个数字（每个数字只算一遍）实际总和为：1+2+3+…+9+10=55。按边算，这个五边形五条边上总和为：14×5＝70。

因为五边形五个顶点上的数字重复计算了一遍，多出来：70-55=15。所以，五个顶点的数字之和一定是15，这5个数字只能是1、2、3、4、5。根据剩下的排在每条边中间的五个数字的大小及每条边上的和，先安排好五个顶点上的数字的排列顺序，要使相邻两个顶点上数字的和依次是4、5、6、7、8，才能使每条边上3个数的和为14。再完成剩下五个空，可得答案如下：

《奥赛天天练》第24讲，巩固训练，习题2

【题目】：

在三个重叠的空白部分分别填上2，3，5，7中的一个数，使每个原来的四个数的和都等于15？

【解析】：

这个问题也是个重叠问题。在三年级奥数中对重叠问题已作了简单介绍：

user3/4092/archives/2009/65608.shtml

如果用A、B、C、D来表示空格中的数字，如下图：

由题意可得：A+B=15-4-6=5；A+C=15-4-1=10；A+D=15-1-6=8，则：（A+B）+（A+C）+（A+D）= 5+10+8=23；即：

A+A+A+B+C+D=23

而：    A+B+C+D=2+3+5+7=17

所以：A=（23-17）÷2=3；B=5-3=2；C=10-3=7；D=8-3=5。

《奥赛天天练》第24讲，拓展提高，习题1

【题目】：

将0～10这11个数分别填入下图中11个小圆圈内，使得数字2，0，0，5上各个圆圈里的数的和都相等，那么这个和最大是多少？最少是多少？试将它们填出来。

【解析】：

这11个数的和是一定的，但单独计算每个数字上各个圆圈里的数的和，相邻两个数字之间的圆圈里的数同时属于这两个数字，就重复计算了一次。这样的圆圈有3个，要使所求的和最大，则这3个数要尽可能的大；要使所求的和最小，则这3个数要尽可能的小。取3个数最大为：10+9+8=27；最小为：0+1+2=3。

要使得数字2，0，0，5上各个圆圈里的数的和都相等，原来11个数的和为：0+1+2+…+9+10=55，加上重复计算的三个数，总和必须是4的倍数。而：（55+27）÷4=20……2，所以各个数字上的数的和最大为20，重复计算的3个数的和最大为25，可以取：10、7、8或10、9、6。先填好重复计算的3个数字，再完成剩余填空。如下图（一）、图（二），有两种不同的填法。

同理，因为（55+3）÷4=14……2，所以各个数字上的数的和最小为15，重复计算的3个数的和最小为5，可以取：0、1、4或0、2、3。先填好重复计算的3个数字，再完成剩余填空。如下图（三）、图（四），也有两种不同的填法。

《奥赛天天练》第24讲，拓展提高，习题2

【题目】：

将1～8这8个数字分别填入正方体的8个顶点上的○内，使每一个面（共有6个面）上4个数字之和都相等。

【解析】：

根据题意得，1+2+3+…+7+8=36，每个面上四个数的和就是：36÷2=18。

以1为例，在这8个数字中，有1参与的和为18的数有4组：①1、2、7、8；②1、3、6、8；③1、4、5、8；④1、4、6、7。

这个正方体每个顶点上的数都涉及到3个面，按数字1所在的顶点涉及的3个面的填法，这个正方体的填法最多只有4种：①、②、③；①、②、④；①、③、④；②、③、④。其中①、②、③组不仅都包含了数字1还都包含了数字8，而任意三个面最多只有一个公共端点，所以这种填法不存在，剩下3组填法都是成立的。先确定数字1的位置之后，再确定两个面公共顶点的数字（即两个面上共有的数字）的位置，最后完成其它填空，可得如下3种答案：