两角和与差的三角函数，解斜三角形·半角的正弦、余弦、正切

师：能乘1+cosα吗？

生：可以．因为在公式（3）中1+cosα在分母位置上，可以保证其不为零．

师：1+cosα开出根号，能保证它一定为正吗？

生：由-1≤cosα≤1及1+cosα≠0可以保证1+cosα一定为正．

师：从形式上看化简结果并不理想，如果没有“±”号和绝对值就好了，这样做行吗？

（对这个问题的解决，有一定难度，可以让学生讨论，研究一下，最终由老师加以解释．）

是等价的．简单分析如下，|sinα|去掉绝对值需看sinα的符号，“±”

师：对于公式（3）化简的方法应当是不唯一的，能否有其它的化简方法呢？

师：这个化简过程与刚才的很类似，而且“±”号和绝对值的处理

的正切公式的第三种形式记录下来．

取相应的推导方法．）

师：到此完成了半角公式的全部推导过程．回顾公式的推导，发现半角的正余弦公式推导是借助了倍角公式来完成的，说明倍角与半角公式是密切联系的，我们正是利用这种关系，应用方程思想得到了半角公式．

（给短暂的停顿，让学生从整体上记忆这组公式．）

师：下面对这组公式作初步理解与记忆．

2．公式的初步理解与记忆．

师：先明确何时能用这些公式，即公式成立的条件是什么呢？先看公式（1）、（2）．

（板书（1）公式成立的条件）

生：公式（1）、（2）成立的条件是α∈R．

（把条件同时板书在各公式的后面．）

师：再看公式（3）和（4）．

师：再看看公式（5）的条件．

k∈Z，即α≠kπ（k∈Z）．

师：公式（4）和公式（5）都是由（3）推出的，为什么成立的条件不同呢？

生：因为同乘1-cosα时不能保证它一定不为零，为保证变形的等价性，需添加上这个条件，即要求α≠2kπ，k∈Z，故增加了公式的使用条件，这与（4）有所不同．

师：了解它们成立的条件，在使用时请稍加注意．

（板书（2）公式的恒等性）

师：这五个公式均为三角恒等式．恒等的含义具体指什么？

生：公式中的α角可以取任意角．

师：准确地说，应当是在公式成立范围内的任意角均使公式成立，即公式具备恒等性．

正因为α是任意的，故公式中角可以有多种表示方法，如果用换元思想去认识公式中的角，左式中角可以用α，那么右式中角则应换为……

生：（共答）2α．

指左式中的角是右式中角的一半．自然，这种相对性还可以理解为右式中的角又是左式中角的2倍，这就是倍的相对性．从这个角度上又一次揭示了倍与半之间的密切联系，它们的实质是相同的，只是研究的角度不同罢了．

（板书（3）“半”的相对性）

下面我们简单谈一下公式的记忆．

（公式的记忆固然需要在理解的基础上去记忆，但有时一些技巧对公式记忆也很有帮助．）

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