两角和与差的三角函数，解斜三角形·两角和与差

师：接下来，我们可以建立sinα，cosα，sinβ，cosβ与cos（α-β）的关系．

（在教师的引导下，学生不难进行下面的推导．）

（cos（α-β）-）2＋sin2（α-β）=（cosα-cosβ）2＋（sinα-sinβ）2，

2-2cos（α-β）＝2-2cosα·cosβ-2sinα·sinβ，

从而  cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ．

师：到此，我们得到公式

cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ，

其中α，β∈R．我们把这一公式简记为Cα-β．

既然这一公式对任意的α，β∈R都成立，那么哪位同学能利用这一公式得出公式Cα+β，即利用α，β的三角函数表示cos（α+β）．

生：把公式Cα-β中的β换成-β，则有

cos［α-（-β）］=cosα·cos（-β）＋sinα·sin（-β）

＝cosα·cosβ-sinα·sinβ，

即

cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ（α，β∈R）．

（这时学生会进一步认识到我们在推导公式Cα-β时强调其中α，β的任意性的重要作用．）

师：这两个公式很重要，我们要熟记．请同学们抓住公式特点，要把公式记住．主要是公式右端中间的“＋、-”号与公式左端α与β间的“-、＋”号正好相反．

师：下面通过几个例题来看一下这两个公式的应用．

例1  不查表，求cos15°及cos75°的值．

（这两个小题比较简单，由学生自己演算，同时由一位同学板演，学生做完后教师进行小结．）

例2

（这个题目也比较简单，由学生自己演算，同时由一位同学板演，然后教师进行小结．）

例3  不查表，求cos21°·cos24°＋sin159°·sin204°的值．

解  原式＝cos21°cos24°＋sin（180°-21°）sin（180°＋24°）

=cos21°cos24°-sin21°sin24°

师：通过此题，我们学会了公式Cα±β可以从右往左倒着应用．对于我们学过的公式要熟练地掌握它们，这包括灵活地运用公式．要做一定数量的习题，并随时加以总结，才能达到这一目标．

例4  证明α∈R时，有

证  α∈R时，有

例5  证明α∈R时，有

（此例请同学们自己证明，然后教师小结．）

师：例4与例5共包含8个公式，这8个公式也要求大家记住，今天先不讲其特点与记忆方法，请同学们课下想一下怎样记忆这8个诱导公式．

师：我们把这节课作一个小结（略）．

师：布置作业．先复习今天学的公式，注意公式的推导过程．

笔答作业：课本练习P207第1，2，3，4，5，6题．

课堂教学设计说明

本节内容课本上是一开始就给出了结论，即公式的右端，然后给予证明．这样做简单明了，节省篇幅，课本可以这样写，但我们最好换一个方式讲，因为这样不符合人们认识事物的过程．人们对任一事物所下结论应在对这一事物认真研究之后，而不是在之前．认真研究之前可以猜想结论是什么样，可以大胆地猜，但是猜完了要证明．猜完了往往是先验证，经过验证发现猜错了可以再猜再验证．经过多次验证没发现错，这时可以设想：猜想有可能是对的，但是要经过证明．

如果猜想经验证发现是错的，可再猜．如果不好猜了，这时会估计结论可能不是一个非常简单的形式，难以猜测其结论．这时要换一个方式去考虑，对公式Cα-β就是把sinα，cosα，sinβ，cosβ当做已知量去求cos（α-β）．这样就较自然地形成了本节对公式Cα-β的证法．

在整个教学过程中，不是简单地把数学知识与教学思想方法抛给学生，而是使学生时刻处于积极思维的状态．结论是什么样？这是一个谜，我们只有认真研究才有可能得到谜底．然后，进一步启发学生考虑研究的方法．学生经过思考，想到数形结合、基本量法，通过解三角形最终揭开谜底．这样，问题的提出，猜想，否定，进一步研究，解决，这一系列的所作所为都是顺理成章的，没有一点儿矫揉造作，显得和谐而自然，本节课的难点——公式Cα-β的推导与证明就顺利解决了．

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