函数及导数综合 2011年高考复习专题

的定义域。
　　（2）若方程有且仅有一个实数根，求实数k的取值范围。
　　解析：
　　（1）有意义，须且只需，
　　　　 ∴k＞0时，定义域为（0，+∞）；
　　　　 k＜0时，定义域为（－1，0）。
　　（2），即，
　　　　 则在定义域范围内仅有一个解
　　　　 令（y1＞0），y2=x+1（y2＞0）
　　　　 当k＞0时，x＞0，如图所示：
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 由方程得x2+(2―k)x+1=0
　　　　 令Δ=(2―k)2―4=0，解得k=4或k=0（舍），
　　　　 当k＜0时，－1＜x＜0，如图所示：
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 （－1＜x＜0）与y2=x+1（－1＜x＜0）仅有一个交点
　　　　 综上，k＜0或k=4，方程有且仅有一个解。
　　评注：此题考查函数与方程的思想，数形结合的思想及分类讨论的思想。

　　7．设（其中a为实数）
　　（1）如果当x∈（－∞，1]时有意义，求a的取值范围。
　　（2）如果a∈（0，1]，当x≠0时，证明。
　　解析：
　　（1）函数有意义，须且只需，
　　　　 即 …… （*）
　　　　 设，x∈（－∞，1]，
　　　　 任取x1，x2∈（－∞，1]，且x1＜x2，
　　　　 则
　　　　　　　　　　　
　　　　 ∵函数及是R上的减函数，且x1＜x2

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