函数及导数综合 2011年高考复习专题

在（0，+∞）的最大值为。
　　（2）设，
　　　　 则。
　　　　 故在（0，a）为减函数，在（a，+∝）为增函数，
　　　　 于是函数在（0，+∞）上的最小值是。
　　　　 故当x＞0时，有，即当x＞9时，。

　　9．已知函数。
　　（1）求曲线在点处的切线方程；
　　（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线的三条切线，证明：。
　　解析：
　　（1）求函数的导数。
　　　　 曲线在点处的切线方程为：，
　　　　 即。
　　（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使 b=(3t2―1)a―2t3。
　　　　 于是，若过点（a，b）可作曲线的三条切线，
　　　　 则方程2t3―3at2+a+b=0有三个相异的实数根。
　　　　 记，
　　　　 则。
　　　　 当t变化时，，变化情况如下表：

t	（－∞，0）	0	（0，a）	a	（a，+∞）
	＋	0	－	0	＋
	↑	极大值a+b	↓	极小值	↑

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