五年级奥数解析（十一）循环问题（上）

《奥赛天天练》第7讲《循环》，这一讲主要学习数的循环问题。

循环现象都有固定的周期，学习数的循环问题，就是通过计算、观察、推理，先找出一组数的循环排列规律，发现周期，确定周期，再根据周期变化情况解决问题。

四年级奥数课堂《四年级奥数解析（三十七）周期问题》中，已经对周期问题作了初步介绍。

本讲是四年级奥数《周期问题》的延伸和拓展，问题中的周期较长，比较抽象，题目难度有所增加。

小技巧：在加、减、乘法计算中，计算结果的个位数字，只与算式中每个数的个位数字相关，与各数其它数位上数字没有关系。

《奥赛天天练》第7讲，模仿训练，练习1

【题目】：

427724的个位数字是几？

【解析】：

427724表示724个427连乘，每个乘数的个位数字都是7，这个算式结果的个位数字，与7724的个位数字是相同的。

依次求出71、72、73 、74、75 、76、77、78  … 的个位数字为：7、9、3、1、7、9、3、1 …。（边计算，边观察，一直算到出现数字循环为止，这是个探索的过程。）

观察可知，7的连乘积的个位数字，按照7、9、3、1的顺序循环出现，循环周期为4。而所求个位数字就是其中的第724个数字。

724÷4=181（组）

所求个位数字为第181组的最后一个数字，是1。

《奥赛天天练》第7讲，模仿训练，练习2

【题目】：

有一串数排成一行，其中第一个数是5，第二个数是8，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，它们是：

5，8，13，21，34，55，89，…

那么在这一串数中，第2001个数被3除后所得的余数是几？

【解析】：

从左往右依次算出这串数中每个数被3除后所得的余数，边计算边观察，探索循环规律，确定周期。

数串：5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…

被3除所得余数：2，2， 1， 0， 1， 1， 2，  0，  2，  2，…

通过观察、推理可得，这串数依次被3除所得的余数，从第3个余数起，每个余数也恰好是前两个余数的和（注：当前两个余数的和为3时，接下来的余数就是3－3=0；当前两个余数的和为4时，接下来的余数就是4－3＝1），并以2，2， 1， 0， 1， 1， 2，  0的顺序循环出现，循环周期为8。

2001÷8=250（组）……1（个）

第2001个数被3除所得的余数，是其中第251组的第1个数，所以所求余数是2。

《奥赛天天练》第7讲，巩固训练，习题1

【题目】：

有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，那么在这串数中，第2001个数被3除所得的余数是多少？

【解析】：

这题与上一题【《奥赛天天练》第7讲，模仿训练，练习2】同理：因为这串数从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，所以这串数依次被3除所得的余数，从第3个余数起，每个余数也恰好是前两个余数的和（注：当前两个余数的和为3时，接下来的余数就是3－3=0；当前两个余数的和为4时，接下来的余数就是4－3＝1）。

15÷3＝5  余数为0

40÷3＝13……1

由前两个余数，根据上面的规律可知，这串数被3除所得的余数依次是：

0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1……

观察可知，依次除得的余数以0，1，1，2，0，2，2，1的顺序循环出现，循环周期为8。

2001÷8=250（组）……1（个）

第2001个数被3除所得的余数，是其中第251组的第1个数，所以所求余数是0。