第二章 “一元一次方程”简介

 

 

　　　1．经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。

 

　　　2．通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。

 

　　　3．了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。

 

　　　4．能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想。

 

　　　5．通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程（见上图），感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。

 

　　4．课时安排

 

　　本章教学时间约需18课时，具体分配如下（仅供参考）：

 

　　2.1从算式到方程约4课时

 

　　2.2从古老的代数书说起──一元一次方程的讨论（1）约4课时

 

　　2.3从“买布问题”说起──一元一次方程的讨论（2）约4课时

 

　　3.4再探实际问题和一元一次方程约4课时

 

　　数学活动

 

　　小结约2课时

 

 

　　1.突出方程这个重点内容，将有关式的预备知识融于讨论方程的过程中

 

　　在许多教科书中，整式及其加减运算通常安排集中在一元一次方程之前，为一元一次方程的学习做准备。这样做的优点是层次分明，“前面铺好路后面走起来很顺”；而不足是学生往往在学习这些预备知识时不能体会它们以后的作用，学习目的性不明确，因而影响学习效果。在本章中没有做如上处理，而是将有关整式的内容分散地融于对方程的讨论之中，不过于强调式的概念，只要它们能自然地为讨论方程这条主线服务即可，这是本章的一个特点。这样处理的目的是突出方程这个实际应用作用明显的内容，由于有关预备知识与方程结合得更密切了，并且不单独予以强调，所以便于学生自然而然地接受和运用，而不感到学了没用。在学生对整式有一些初步的认识的基础上，本套教科书在后面（第15章）还要安排对它们的专门讨论，到那时学生对为什么学习有关式的内容就比较容易理解了。

 

　　2.突出列方程，结合解决实际问题讨论解方程

 

　　列方程是本章的重点，也是难点。为突出重点，分散难点，使学生能有较多机会接触列方程，本章把对实际问题的讨论作为贯穿于全章前后的一条主线。对一元一次方程解法的讨论始终是结合解决实际问题进行的，即先列出方程，然后讨论如何解方程，这是本章的又一特点。教科书先结合两个实际问题的求解过程分别讨论了“合并（同类项）”和“移项”，并进一步通过一些例题对这两种解方程的变形手段进行综合练习和强化。此后教科书又在对另两个实际问题的讨论中引出解方程中的“去括号”和“去分母”，并进一步通过一些例题和练习题帮助学生掌握它们。在此基础上，教科书归纳总结出解一元一次方程的目标和一般步骤，引导学生提高对一元一次方程解法的认识。我们认为这样处理解方程的教学符合人们对方程的认识过程，并且可以加强这章内容与实际的联系，有助于解决部分学生总感觉列方程难的问题。

 

　　3.通过加强探究性，培养分析解决问题的能力、创新精神和实践意识

 

　　本章的中心任务是，使学生经历建立一元一次方程模型并应用它解决实际问题的过程，体会方程的作用，掌握运用方程解决简单问题的方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。由于实际问题的类型多样，在某些问题中数量关系不十分明显，使得以方程为模型表示问题中的数量关系成为教学中的难点。为切实提高利用方程解决实际问题的能力，本章在内容选择上注意加强探究性。例如，第2.4节特别安排了“再探实际问题和一元一次方程”的内容，选择了三个具有一定综合性的问题（“销售中的盈亏”“用哪种灯省钱”“球赛积分表问题”），设置了若干探究点，引导学生利用方程为工具进行具有一定深度的思考，把全章所强调的以方程为工具把实际问题模型化的思想提到新的高度。这节内容包括：估算与精确计算的比较（探究1），进行开放性的设计（探究2），根据问题的实际背景进行检验，利用方程进行简单推理判断（探究3中已渗透了反证法的思想）。安排这节的目的在于：一方面通过更加贴近实际生活的问题，进一步突出方程这种数学模型的应用具有广泛性和有效性；另一方面使学生能在更加贴近实际生活的问题情境中运用所学数学知识，使分析问题和解决问题的能力、创新精神和实践意识在更高层次上等到提高。

 

　　4.重视数学思想方法的渗透，关注数学文化

 

　　本章不仅重视数学与实际的联系，列方程和解方程的方法，而且重视数学知识中蕴涵的建模和化归等数学思想方法的渗透。，本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想。虽然考虑到学生的理解能力等原因，教科书没有过多出现“数学模型”一词，但是本章多次以框图形式对“利用一元一次方程解决问题的基本过程”加以归纳，意在渗透建模思想。为体现化归思想在解方程中具有指导作用，本章中讨论一元一次方程的各个步骤时，都注意点明解方程的目的，即为最终使方程变形为x=a的形式，各种步骤都是为此而实施的，即在保持方程的左右两边的相等关系的前提之下，使“未知”逐步转化为“已知”。

 

　　本套教科书的特色之一是，使教科书成为反映科学进步、介绍先进文化的镜子。重视数学的科学价值，同时关注其文化内涵。通过教科书这面镜子的反射，结合教学内容生动活泼地介绍古今数学的发展，深入浅出地反映数学的作用（工具作用和人文教育作用），使学生逐步地认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养。本章对于数学文化予以很大关注，从数字到字母，从算式到方程，从算术到代数……这些数学史上的重大进步以及有关方程的名著《还原与对消》、埃及纸莎草文书中的问题等在教科书中都有所反映。编者希望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够感受到数学文化的熏陶。