2009年高考数学试题命题预测及名师指导

　　【试题举例】

　　如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　)

　　A.ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

　　B.ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

　　C.ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

　　D.ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

　　【答案】A

　　【解析】∵正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，∴4＝a＋b≥2√ab，即ab≤4，当且仅当a＝b＝2时，“＝”成立；又4＝cd≤(c+d/2)2，∴c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时，“＝”成立；综上得ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值都为2，选A.

　　(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

　　【导读】1.在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程。有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的。

　　2.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在学习中，不等式的证明除常用的三种方法外，还有其他方法，如比较大小。证明不等式的常用方法有：差、商比较法、函数性质法、分析综合法和放缩法。要能了解常见的放缩途径，如：利用增或舍、分式性质、函数单调性、有界性、基本不等式及绝对值不等式性质和数学归纳法等。有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用。

　　3.比较法有两种形式：一是作差，二是作商。用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、最常用的方法。它的依据是不等式的基本性质。步骤是：作差(商)→变形→判断。变形的目的是为了判断。若是作差，就判断与0的大小关系，为了便于判断，往往把形式变为积或完全平方式。若是作商，两边为正，就判断与1的大小关系。

　　【试题举例】

　　当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是　　　.

　　【答案】m≤－5

　　【解析】构造函数：f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2].由于当x∈(1,2)时，

　　不等式x2＋mx＋4＜0恒成立。则f(1)≤0，f(2)≤0，即

　　1＋m＋4≤0,4＋2m＋4≤0.解得：m≤－5.

　　(4)掌握简单不等式的解法。

　　【导读】1.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程。因此在学习中理解保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则。

　　2.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想。

　　3.解不等式几乎是每年高考的必考题，重点仍是含参数的有关不等式，对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确。

　　【试题举例】

　　不等式：x-1/x*x-4>0的解集为(　　)

　　A.(－2,1)  B.(2，＋∞)

　　C.(－2,1)∪(2，＋∞)　  D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)

　　【答案】C

　　【解析】不等式：x-1/x*x-4>0，∴x-1/(x+2)(x-2)>0，原不等式的解集为(－2,1)∪(2，＋∞)，选C.

　　(5)理解不等式│a│－│b│≤│a＋b│≤│a│＋│b│.

　　【导读】1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值。常用的方法是：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方。

　　2.绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新。在考试中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要学会方法，切不可以题论题。

　　3.不等式在数学的各个分支中都有广泛的应用，同时还是继续学习高等数学的基础。纵观历年试题，涉及不等式内容的考题大致可分为以下几类：①不等式的证明；②解不等式；③取值范围的问题；④应用题。

　　【试题举例】

　　不等式|2x－1|－x＜1的解集是　　　　.

　　【答案】(0,2)

　　【解析】|2x－1|－x＜1⇒|2x－1|＜x＋1⇒－(x＋1)＜2x－1＜x＋1

　　∴{-(x+1)<2x-1,2x-1<x+1}⇒0＜x＜2.

　　5.三角函数

　　考试内容：

　　角的概念的推广。弧度制。

　　任意角的三角函数。单位圆中的三角函数线。同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sina/cosa＝tanα，tanαcotα＝1.正弦、余弦的诱导公式。

　　两角和与差的正弦、余弦、正切。二倍角的正弦、余弦、正切。

　　正弦函数、余弦函数的图象和性质。周期函数。函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象。正切函数的图象和性质。已知三角函数值求角。

　　正弦定理。余弦定理。斜三角形解法。

　　考试要求：

　　(1)了解任意角的概念、弧度的意义。能正确地进行弧度与角度的换算。

　　【导读】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方法，复习中注意“三基”的落实。一般都在选择题与填空题中考查，多为容易或中等难度的题目。三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦。要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角函数概念。

　　【试题举例】

　　α是第四象限角，tanα＝－5/12，则sinα等于(　　)

　　A.1/5  B.－1/5  C5/13.  D.－5/13

　　【答案】D

　　【解析】α是第四象限角，tanα＝－5/12，则sinα＝－1/√1+tana*tana＝－5/13.

　　(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义。了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式。掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期函数与最小正周期的意义。

　　【导读】同角三角函数基本关系式是其他公式推导的理论基础。对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括。三角公式是三角函数的心脏，它贯穿于整个的三角运算过程之中。在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值。

　　【试题举例】

　　已知简谐运动f(x)＝2sin(π/3x＋φ)(|φ ＜π/2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)

　　A.T＝6，φ＝π/6   B.T＝6，φ＝π/3

　　C.T＝6π，φ＝π/6  D.T＝6π，φ＝π/3

　　【答案】A

　　【解析】依题意2sinφ＝1，结合|φ ＜可得π/2φ＝π/6，易得T＝6，故选A.

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