五年级奥数解析（二十二）行程问题（1）

行程问题是反映物体匀速运动状况的应用题，它研究的是物体运动速度、时间和路程三者之间的关系。基本数量关系式为：

路程＝速度×时间；路程÷时间=速度； 路程÷速度=时间

行程问题根据运动物体的个数可分为：一个物体的运动、两个物体的运动或三个物体的运动。这里主要研究两个物体的运动，根据两个物体运动的方向，可分为：相遇问题（相向运动）、追及问题（同向运动）、相离问题（相背运动）三种情况。

两个物体运动时，运动的方向与运动的速度有着很大关系，当两个物体相向运动或相背运动时，以两个运动物体速度的和作为运动速度（简称速度和），当两个物体同向运动时，追击的速度就变为了两个运动物体速度的差（简称速度差）。

当物体运动有外作用力时，速度也会发生变化。如人在赛跑时顺风跑和逆风跑速度与无风跑速度相差一个风速；船在河中顺流航行和逆水航行速度分别与静水航行速度相差一个水流速度。

行程问题涉及到的物体运动的具体情况较复杂，题型较多。《奥赛天天练》第十五讲《相遇问题》，《奥赛天天练》第十六讲《追及问题》，《奥赛天天练》第十七讲《火车行程问题》，《奥赛天天练》第十八讲《流水行程问题》，依次教学相遇问题、追及问题、火车行程问题、流水行程问题这4种典型的常见行程问题应用题。

一、相遇问题。

两个物体在同一直线或环形路线上，同时或不同时由两地出发相向而行，在途中相遇，此类行程问题被称为相遇问题。两个物体同时或不同时从同一地点出发，相背而行，此类行程问题被称为相离问题。相离问题就相当于相遇问题的逆过程，这两类问题解题方法相同。常用数量关系式为：

甲的路程+乙的路程=相遇（或相离）路程

速度和×相遇（或相离）时间＝相遇（或相离）路程

相遇（或相离）路程÷速度和=相遇（或相离）时间

相遇（或相离）路程÷相遇（或相离）时间= 速度和

二、追及问题。

两物体在同一直线或环形路线上运动，速度慢的在前，速度快的在后，经过一段时间，速度快的追上速度慢的，此类问题通常被称为追及问题。常用数量关系式为：

路程差=追及者所行路程-被追者所行路程

追及时间×速度差＝路程差

追及时间＝路程差÷速度差

速度差＝路程差÷追及时间

三、火车行程问题。

火车过桥，火车过隧道，两列火车车头相遇到车尾相离等问题，也是一种行程问题，被称为火车行程问题。一般行程问题中，因为人、车之类的运动物体的长度很小，可以忽略不计。但火车行程问题在考虑路程时,必须考虑到火车本身的长度。常用数量关系式有：

①火车过桥或隧道：过桥（隧道）时间×速度=桥(隧道) 长+火车车长

②两列火车相向而行,从车头相遇到车尾相离：

所用时间×速度和=两车车长之和

③两列火车同向而行, 从快车头追上慢车尾到快车尾超过慢车头：

所用时间×速度差=两车车长之和

四、流水行程问题。

船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到水流速度影响，在这种情况下船只的航行速度、时间和所行的路程之间的关系问题，就叫做流水行程问题，也称为流水行船问题。常用数量关系式为：

顺水速度＝静水速度＋水流速度

逆水速度＝静水速度－水流速度

静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2

水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2

逆水行程＝逆水速度×航行时间

解题策略：

①要正确的解答相关行程问题应用题，必须要弄清运动的方向（相向，相背，同向），出发的时间（同时，不同时），出发的地点（同地，不同地），运动的路线（直线，环形路线），运动的结果（相遇、相距多少、交错而过、追上）等情况。

②解答行程问题一定要养成画线段图的习惯，这是分析行程问题数量关系的基础。

           相遇问题

《奥赛天天练》第15讲，模仿训练，练习1

【题目】：

甲、乙两辆汽车分别以不同的速度同时从A、B两地相对而行，途中相遇，相遇点距A地60千米。相遇后两车以原速前进，到底目的地后，两车立即返回，在途中又第二次相遇，这时距A地40千米。问第一次相遇点距B地多少千米？

【解析】：

甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对而行，行驶情况如下图：

蓝色线条表示甲车行驶路线，红色线条表示乙车行驶路线；细线条是第一次相遇前两车行驶路程，粗线条表示两车从第一次相遇到第二次相遇之间行使的路程。

从图中可以看出，从出发到第一次相遇，两车合走了1个全程（细线条）；从第一次相遇到第二次相遇，两车合走了2个全程（粗线条）；两车总共合走了3个全程。

每辆汽车的速度是一定的，所以它们各自行驶的路程与时间成正比例。

解法一：

如上图，第一次相遇时，即两车合走1个全程的时间里，甲走了60千米。

两车总共合走了3个全程，则甲车从A地出发，经过B地到达第二次相遇地点，总共行驶了3个60千米（蓝色线条全长），加上第二次相遇地点到A地40千米，共2个全程。所以A、B两地的距离为：

（60×3＋40）÷2＝110（千米）。

所以第一次相遇地点到B地的距离为：110－60＝50（千米）。

解法二：

如上图，从第一次相遇到第二次相遇，即两车合走2个全程的时间里，乙从第一次相遇点经过A地到达第二次相遇地点，共走了（60＋40）千米。

则乙从出发到第一次相遇，即两车合走1个全程的时间里，行驶的路程为：

（60＋40）÷2＝50（千米）。

第一次相遇点距B地的距离就是乙从出发到第一次相遇行驶的路程，即50千米。

《奥赛天天练》第15讲，模仿训练，练习2

【题目】：

甲、乙两人分别从两地同时相向而行，8小时后可以相遇。如果每小时都少行1.5千米，那么10小时后相遇，问两地相距多少千米？

【解析】：

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