五年级奥数解析（十二）循环问题（下）

观察余数，按照0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5的顺序循环出现，循环周期为12。

70÷12＝5（组）……10（个）

所以，第70个数除以6的余数为4。

解法二：先求出给定的前6个数除以6的余数为：0，1，3，2，3，1。

观察余数排列，根据这70个数的排列规律，可以推理得出，这70个数从左往右依次除以6所得的余数，从第3个余数开始，每个余数要么等于往前数第一个余数的3倍和往前数第二个余数之间的差，要么与所求的差同余。当往前数第一个余数的3倍和往前数第二个余数之间的差大于等于6时，这个余数与所求的差同余（因为所有余数都小于6）。

例如：上面6个余数中，①第3个余数就等于1的3倍减去0得3；②3的3倍减去1得8，第4个余数与8同余是2；③第5个余数等于2的3倍减去3的差是3；④3的3倍减2得7，第6个余数与7同余是1；……

用这个方法可以直接求出后面的每个余数，找出循环规律和周期，最后求出第70个数除以6的余数为4。

此题第一种解法，方法比较简单，但因周期太长，计算量太大；第二种解法，计算比较简单，但余数的排列规律难以发现。

【同余】：如果两个数除以6所得余数相同，我们便称这两个数被6除同余。

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